Основная страница | Живая Этика | Работа в школе (математика) | История обновлений | Фотографии | Полезные ссылки
1. (4 балла) Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько было превоначально автобусов и сколько туристов было в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек.
2. (5 баллов) Две окружности пересекаются в точках M и N. Точки A и B на одной окружности и C и D на другой окружности таковы, что точка M лежит на отрезке AC, а точка N --- на отрезке BD. Доказать, что прямые AC и BD параллельны.
3. (6 баллов) На окружности расположено 100 точек. Сколько существует различных незамкнутых несамопересекающихся 99-звенных ломаных с вершинами в этих точках?
4. (7 баллов) В таблице 5*5 расставлены числа. Известно, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, стоящих в соседних клетках (клетки называются соседними, если они имеют общую сторону); а сумма всех чисел равна 1. Найти эти числа.
5. (9 баллов) Дан набор из 2000 векторов в пространстве. Двое по очереди выбирают по вектору из этого набора. После того, как все векторы выбраны каждый находит сумму своих 1000 векторов. Выигрывает тот, у кого эта сумма больше по модулю (вектор равный сумме длиннее). Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? Описать ее.
6. (9 баллов) В городе n домов. Какое максимальное непересекающихся заборов можно построить в этом городе так, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали одну и ту же совокупность домов?
Вариант составил Порошенко Е.Н.