Основная страница | Живая Этика | Работа в школе (математика) | История обновлений | Фотографии | Полезные ссылки

Школьная олимпиада
11 класс
4 ноября 2000г.

1. (4 балла) Доказать,что для любых x и y отличных от 0 выполняется неравенство

неравенство

2. (5 баллов) Доказать, что в любой компании найдутся двое, имеющие одинаковое количество знакомых из этой компании.

3. (5 баллов) Можно ли в клетках таблицы 5*5 записать числа так, чтобы в каждом квадрате 2*2 сумма чисел была положительна, а во всей таблице --- отрицательна?

4. (7 баллов) Внутри n-угольника, каждая сторона которого равна a, взята произвольная точка. Доказать, что сумма расстояний от этой точки до сторон этого n-угольника равна 2*S/a, где S --- его площадь.

5. (9 баллов) На доске написаны числа 1, 2,..., 2000. Можно ли так расставить между ними знаки + и -, чтобы в результате получилось 1?

6. (10 баллов) Двое по очереди делают надрезы на прямоугольном листе бумаги в клетку m*n по следующим правилам:

  1. Каждый надрез прямолинеен и идет по линиям сетки;
  2. Каждый надрезы начинается либо на границе листа, либо в узле сетки (точке пересечения двух линий), до которого уже дошел хотя бы один надрез;
  3. Все надрезы заканчиваются в узлах сетки.
Проигрывает тот, после чьего хода листок распадется на несколько частей. Кто из игроков выиграет при правильной игре (ответ может зависеть от m и n)?

Вариант составил Порошенко Е.Н.

возврат на страничку по школе

возврат на основную страницу