Основная страница | Живая Этика | Работа в школе (математика) | История обновлений | Фотографии | Полезные ссылки
Районная математическая олимпиада 2000г
Задачи 11 кл.
Советский район г.Новосибирска
27 ноября 2000г
1. Докажите тождество:
2. В турнире по настольному теннису, где каждый сыграл с каждым ровно одну партию и ничьи невозможны, участвовали блондины и рыжие, причём блондинов было втрое больше. Оказалось, что число партий, выигранных рыжими, равно числу партий, выигранных блондинами. Сколько игроков участвовало в турнире и кто победил - блондин или рыжий?
3. Треугольник обладает следующим свойством: сумма расстояний от любой точки внутри него (включая точки на границе) до прямых, содержащих его стороны, постоянна и не зависит от выбора точки. Докажите, что данный треугольник - равносторонний.
4. Решить в целых числах уравнение: 
5. В угол вписана окружность с центром О, касающаяся его сторон в точках А и В. Через произвольную точку Х отрезка АВ перпендикулярно ОХ проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках С и D. Доказать, что длины отрезков СХ и DX равны.
6. Имеется кучка из нескольких камней. Два игрока по очереди берут из неё камни, пропускать ход нельзя. За один ход можно забрать из кучки не менее одного и не более половины камней, имеющихся в ней к моменту совершения хода. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Выяснить, при каком начальном количестве камней победит первый из ходящих, а при каком - второй.