Основная страница | Живая Этика | Работа в школе (математика) | История обновлений | Фотографии | Полезные ссылки
1. (3 балла) Три брата Артур, Борис и Василий бегут по кольцевой беговой дорожке с постоянными скоростями. Артур и Борис бегут в одном направлении, а Василий - в противоположном. Известно, что Артур догоняет Бориса каждые 5 минут и встречается с Василием каждую минуту. Сколько времени проходит между двумя последовательными встречами Бориса и Василия?
2. (5 баллов) В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке O. Доказать, что радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ABC, AOB, AOC, BOC равны между собой.
3. (6 баллов) Каких шестизначных чисел больше тех, которые представляются в виде произведения двух трехзначных чисел или тех, которые не представляются в таком виде?
4. (7 баллов) На доске выписаны n целых чисел (не обязательно различных) Доказать, что из них можно выбрать несколько так, что их сумма будет делиться на n.
5. (9 баллов) В прямоугольном доме 40 комнат (см. рис.) и между каждыми двумя соседними комнатами - дверь Можно ли пройти из A и B так, чтобы через каждую комнату пройти ровно один раз? А из A в C? А из A в D?
6. (10 баллов) На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник m´n клеток. Двое играют в следующую игру. Каждый игрок своим ходом может закрасить несколько подряд идущих клеток в горизонтальной или в вертикальной линии (в частности за ход может быть закрашена одна клетка или, наоборот, целая строчка или столбец). Ходят по очереди. Запрещается закрашивать клетки повторно. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Кто выигрывает при правильной игре (ответ зависит от m и n)?
Составитель: Порошенко Е.И.