Основная страница | Живая Этика | Работа в школе (математика) | История обновлений | Фотографии | Полезные ссылки
Районная математическая олимпиада 2001г
Задачи 11 кл.
Советский район г.Новосибирска
19 ноября 2001г.
1. Найти наибольшее и наименьшее натуральные числа, в десятичной записи которых нет нулей и единиц, а сумма цифр равна 67.
2. В клетках таблицы 3 на 3 расставлены следующие числа: слева направо в первой строке 4, 12, 8, во второй строке 13, 24, 14, в третьей строке 7, 5, 23. Коля и Петя вычеркнули по четыре числа. Оказалось, что сумма чисел, вычеркнутых Петей, втрое больше суммы чисел, вычеркнутых Колей. Какое число осталось не вычеркнутым?
3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы А и В равны по величине, и что ВО=1 см, a AD=3 см. Докажите, что длина стороны CD больше, чем 2 см.
4. Найдите все целочисленные решения системы:
5. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит его сторону АВ на отрезки AD и DB с длинами 5 см и 3 см соответственно. Величина угла А равна 60 градусов. Найти длину стороны ВС.
6. Замок состоит из 64 одинаковых квадратных комнат, имеющих по двери в каждой стене и расположенных в виде квадрата 8 на 8. Полы во всех комнатах покрашены в белый цвет. Каждое утро маляр совершает прогулку по замку, причем, проходя через комнату, он перекрашивает пол в ней из белого в черный, а из чёрного - в белый. Возможно ли, что когда-нибудь полы в замке окажутся покрашенными в шахматном порядке в черный и белый цвета?