Основная страница | Живая Этика | Работа в школе (математика) | История обновлений | Фотографии | Полезные ссылки

1. а) Могут ли длины высот треугольника относиться друг к другу как 2:4:8?
   б) При каких значениях q длины высот треугольника относиться друг к другу как 1:q:q²?

2. В треугольнике ABC выполнены соотношения AB=1, BC=2, ÐABC=120º . Докажите, что медиана BD перпендикулярна стороне AB.

3. На острове живут только рыцари (которые всегда говорят правду) и лжецы (которые все-гда лгут). Трое из них сделали по два заявления.
   Первый сказал: "На острове живёт не более 3 человек", "Все жители острова - лжецы";
   Второй сказал: "На острове живёт не более 4 человек"; "Не все жители острова - лжецы";
   Третий сказал: "На острове живёт 5 человек"; "На острове не менее 3 лжецов".
Сколько человек живёт на острове и сколько среди них лжецов?

4. Найти

5. Оля и Коля играют на доске размером клеток. Первым ходом Оля закрашивает произ-вольную неугловую клетку. Далее игроки по очереди закрашивают по одной клетке, примы-кающей к любой из уже закрашенных. Побеждает тот, кто первым закрасит одну из угловых клеток. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

6. а) Найти все решения уравнения, которые являются натуральными числами: 2^x+1=y²?
    б) Доказать, что для любого натурального значения k уравнение 3^x+k³=y³ не имеет решений в натуральных числах.

Вариант составил Макаров А.И.