Основная страница | Живая Этика | Работа в школе (математика) | История обновлений | Фотографии | Полезные ссылки
1. (3 балла) Двое играют в поддавки на 100-клеточной доске (у каждого первоначально по 20 шашек). После одного из ходов число черных шашек относилось к числу белых как 3 к 2. Еще через несколько ходов общее число шашек на доске уменьшилось на 4 и число черных шашек стало относиться к числу белых как 4 к 3. Сколько шашек осталось на доске в этот момент?
2. (5 баллов) Дан четырехугольник; A, B, C, D - последовательные середины его сторон, P, Q - середины диагоналей. Доказать, что треугольник BCP равен треугольнику ADQ.
3. (7 баллов) Можно ли в клетках таблицы 5 x 5 записать числа так, чтобы в каждой строке сумма чисел была положительна, а в каждом столбце - отрицательна?
4. (7 баллов) 20 человек пришли в гости в ботинках (все ботинки разных размерен). Уходили они по одному и каждый надевал произвольную пару ботинок, в которые мог влезть (то есть не меньшего размера чем его собственная). Какое наименьшее число людей смогло надеть ботинки?
5. (9 баллов) Дано число N=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31 (произведение одиннадцати первых простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6,. ...., N - все его делители, выписанные в строку в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из +1 и -1 по следующему правилу: под 1 пишем +1, под числом, разлагающимся в произведение четного числа простых сомножителем пишем +1, а под остальными числами пишем -1. Доказать, что сумма построенного таким образом ряда равна 0.
6. (9 баллов) Даны карточки с числами 1, 2, .... 8 - по 222 карточки с каждым числом. Двое по очереди берут карточки по одной и выкладывают их в отдельную стопку. Все числа на карточках в этой стопке суммируются. Игрок выигрывает, если после его хода эта сумма становится равна 1999, или если его противник вынужден сделать ход, после которого сумма превысит 1999. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? Опишите ее.
Составитель: Порошенко Е.Н.